Question

設(shè)圓C的圓心在雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

2

=1（a＞0）的右焦點(diǎn)且與此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切，若圓C被直線(xiàn)l：x-

3

y=0截得的弦長(zhǎng)等于2，則a=

 

．

Answer 1

分析：先利用圓與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切得圓的半徑，再利用圓C被直線(xiàn)l：x-

3

y=0截得的弦長(zhǎng)等于2，求出a與圓心到直線(xiàn)l：x-

3

y=0的距離d之間的等量關(guān)系即可求出a．

解答：解：設(shè)圓心坐標(biāo)為（

a2+2

，0），因?yàn)殡p曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)y=

2

a

x?

2

x-ay=0．
由圓與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即得r=

2  2+a2

2+a2

=

2

，
又因?yàn)閳AC被直線(xiàn)l：x-

3

y=0截得的弦長(zhǎng)等于2，
故圓心到直線(xiàn)l：x-

3

y=0的距離d=1=

2+a2

1+( 3 )2

?a²=2又a＞0，故a=

2

．
故答案為 

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓與雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)的方程，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力．