Question

已知三條直線l₁：2x－y＋a＝0(a＞0)、直線l₂：－4x＋2y＋1＝0和直線l₃：x＋y－1＝0，且l₁與l₂的距離是

(1)求a的值；

(2)求l₃到l₁的角θ；

(3)能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點：②P點到l₁的距離是P點到l₂的距離的；③P點到l₁的距離與P點到l₃的距離之比是∶；若能，求P點坐標；若不能，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　求解本題的必需工具是三個公式：平行直線間的距離公式，直線到直線的“到角”公式和點到直線的距離公式．其中第(3)問應解一個由①、②、③建立起來的方程組． 　　解答　　(1)l2即2x－y－＝0， 　　∴l1與l2的距離d＝＝， 　　∴＝． 　　∴|a＋|＝， 　　∵a＞0，∴a＝3， 　　(2)由(1)，l1即2x－y＋3＝0，∴k1＝2， 　　而l3的斜率k3＝－1， 　　∴tanθ＝＝＝－3． 　　∵0≤θ≤π，∴θ＝π－arctan3； 　　(3)設(shè)點P(x0，y0)，若P點滿足條件②，則P點在與l1、l2平行的直線：2x－y＋c＝0上． 　　且＝，即c＝，或c＝， 　　∴2x0－y0＋＝0，或2x0－y0＋＝0； 　　若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式， 　　有＝· 　　即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， 　　∴x0－2y0＋4＝0，或3x0＋2＝0； 　　由P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能． 　　聯(lián)立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0， 　　解得 　　由得， 　　∴P(，)即為同時滿足三個條件的點．