Question

已知直線l過點P（3，2），且與x軸、y軸的正半軸分別交于點A、B.如圖.

（1）求△AOB面積的最小值及此時直線l的方程；

（2）求直線l在兩坐標軸上的截距之和的最小值及此時直線的方程.

Answer 1

思路解析：從面積最小這點出發(fā)，建立與面積有關(guān)的函數(shù)關(guān)系，利用不等式或函數(shù)的單調(diào)性解決，也可以根據(jù)題目條件，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，更有意想不到的效果.

（1）解法一：設A（a，0）、B（0，b）（顯然a＞3）,則直線l的方程為+=1.把P（3，2）代入,得+=1,于是b=,故△AOB的面積S=ab==

=a-3++6≥2+6=12.∴a-3=,即a=6,b=4時,△AOB面積取最小值12.此時l的方程為+=1,即2x+3y-12=0.

解法二：由1=+≥2,得≥2，ab≥.故△AOB的面積S=ab≥12.當==,即a=6,b=4時,S_min=12.(以下同解法一)

解法三：由b=，故△AOB的面積S=ab=.去分母，得a²-Sa+3S=0.∵a為實數(shù)，∴Δ≥0，即S²-12S≥0.由S≥0得S≥12.將S_min=12代入上式，求得a=6，故b=4.(以下同解法一)

解法四：如上圖所示，過P分別作x，y軸的垂線PM，PN（M、N為垂足），并設θ=∠PAM=∠BPN，則

S=S_矩形PMON+S_△PAM+S_△PBN

=6+×2×2×cotθ+×3×3×tanθ

=6+2cotθ+tanθ≥6+2=12，

∴當2cotθ=tanθ，即tanθ=時，S_min=12.(以下同解法一)

（2）解法一：∵+=1，

∴a+b=(+)（a+b）=3+++2=++5≥5+2=5+2.

當=,即a=3+,b=2+時(a+b)_min=5+2,

此時直線方程為(2+)x+(3+)y-12-5=0.

解法二：∵a+b=(|OM|+|MA|)+(|ON|+|NB|)

=(3+2cotθ)+(2+3tanθ)=5+2cotθ+3tanθ≥5+2

=5+2，

∴當2cotθ=3tanθ，即tanθ=時，也即a=3+，b=2+時，（a+b）_min=5+2，

此時直線方程為（2+）x+（3+）y-12-5=0.

深化升華

    本題屬“條件最值”問題，解題的總體思路是：先根據(jù)條件把多變元的函數(shù)減元化成單變元的目標函數(shù)，再根據(jù)表達式的結(jié)構(gòu)特點確定最大、小值的求法.