Question

把一副三角板ABC與ABD擺成如圖所示的直二面角D-AB-C，則異面直線DC與AB所成角的正切值為（　�。�

• A．

  3

• B．

  21

  3

• C．

  21

  7

• D．不存在

Answer 1

分析：Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：

3

：2，Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：

2

：1，因此設(shè)AD=

2

，則AB=

6

，AB=AC=

3

．再建立如圖坐標(biāo)系，得出A、B、C、D各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積公式，求出直線DC與AB所成角的余弦值，最后用同角三角函數(shù)的關(guān)系，可以算出DC與AB所成角的正切值．

解答：解：以A為原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為y軸和z軸，建立如圖坐標(biāo)系
Rt△ABD中，AD：AB：BD=1：

3

：2．Rt△ABC中，AC：AB：BC=1：

2

：1，
設(shè)AD=

2

，則AB=

6

，AB=AC=

3

則A（0，0，0），B（0，-

6

，0），C（

6

2

，-

6

2

，0），D（0，0，

2

）
∴

AB

=（0，-

6

，0），

DC

=（

6

2

，-

6

2

，-

2

）
可得

|AB|

=

6

，

|DC|

=

5

，
∴cos＜

AB

，

DC

＞=

0× 6 2 +(- 6 )×(- 6 2 )+0×(- 2 )

6 × 5

=

30

10

根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，得sin＜

AB

，

DC

＞=

1- 3 10

=

70

10

，tan＜

AB

，

DC

＞=

70 10

30 10

=

21

3

即異面直線DC與AB所成角的正切值為

21

3

故選B

點(diǎn)評(píng)：本題將一副三角板擺成直二面角，要我們要相對(duì)的棱所在的異面直線所成的角，著重考查了異面直線所成角的求法和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．