Question

2．函數f（x）=log_a（2-ax）（a＞0，a≠1）．
（1）當a=3時，求函數f（x）的定義域；
（2）若g（x）=f（x）-log_a（2+ax），判斷g（x）的奇偶性；
（3）是否存在實數a，使函數f（x）在[2，3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的性質求出函數的定義域即可；
（2）根據函數奇偶性的定義判斷即可；
（3）令μ=2-ax，根據復合函數的單調性求出函數的最大值，從而求出對應的a的值即可．

解答 解：（1）由題意：f（x）=log_a（2-3x），
∴2-3x＞0，即x＜$\frac{2}{3}$，
所以函數f（x）的定義域為（-∞，$\frac{2}{3}$）；
（2）易知g（x）=log_a（2-ax）-log_a（2+ax），
∵2-ax＞0且2+ax＞0，
∴$-\frac{2}{a}＜x＜\frac{2}{a}$關于原點對稱，
又∵$g（x）={log_a}（2-ax）-{log_a}（2+ax）={log_a}\frac{2-ax}{2+ax}$，
∴$g（-x）={log_a}\frac{2+ax}{2-ax}=-{log_a}\frac{2-ax}{2+ax}=-g（x）$，
∴g（x）為奇函數．
（3）令μ=2-ax，∵a＞0，a≠1，
∴μ=2-ax在[2，3]上單調遞減，
又∵函數f（x）在[2，3]遞增，
∴0＜a＜1，又∵函數f（x）在[2，3]的最大值為1，
∴f（3）=1，即f（3）=log_a（2-3a）=1，
∴$a=\frac{1}{2}$，∵0＜a＜1，∴$a=\frac{1}{2}$符合題意．
即存在實數$a=\frac{1}{2}$，使函數f（x）在[2，3]遞增，并且最大值為1．

點評 本題考查了對數函數的性質，考查復合函數的單調性、最值問題，是一道中檔題．