Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+tx（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)t=-e時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)不等式f（x）＞0的解集為P，且集合{x|0＜x≤2}⊆P，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由不等式f（x）＞0的解集為P，且{x|0＜x≤2}⊆P，可知對(duì)于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，利用分離參數(shù)法，可得t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立，求出右邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值，即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)t=-e時(shí)，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
由f'（x）=e^x-e＞0，解得x＞1；f'（x）=e^x-e＜0，解得x＜1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1）．
（Ⅱ）由不等式f（x）＞0的解集為P，且{x|0＜x≤2}⊆P，可知，對(duì)于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e^x+tx＞0即t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立． 
令g(x)=-

ex

x

，∴g′(x)=

(1-x)ex

x2

．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g'（x）＜0．
∴函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，2）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x）在x=1處取得極大值g（1）=-e，即為在x∈（0，2]上的最大值．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-e，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t＞-

ex

x

在x∈（0，2]上恒成立，利用求出右邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值，可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．