Question

（理科）已知函數(shù)f(x)=

a•2x+a2-2

2x-1

(x∈R，x≠0)，其中a為常數(shù)，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a的取值集合A；
（2）當a=-1時，設f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），且函數(shù)y=g（x）的圖象與y=f^-1（x+1）的圖象關于y=x對稱，求g（1）的取值集合B；
（3）對于問題（1）（2）中的A、B，當a∈{a|a＜0，a∉A，a∉B}時，不等式x²-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由必要條件f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，所以a=-1．當a=-1時，f(x)=

1+2x

1-2x

，任取x≠0，x∈R．f(-x)+f(x)=

1+2-x

1-2x

+

1+2x

1-2x

=

2x+1

2x-1

+

1+2x

1-2x

=0恒成立．由此能求出集合A．
（2）當a=-1時，由y=f(x)=

1+2x

1-2x

，得x=log2

y-1

y+1

，互換x，y得f-x(x+1)=log2

x

x+2

，由此能求出集合B．
（3）原問題轉化為g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立則

x-4＜0 g(0)≥0

或

x-4=0…1分 g(0)＞0…2分

，由此能求出x的取值范圍．

解答：解：（1）由必要條件f（-1）+f（1）=0得a²-a-2=0，a＜0，
所以a=-1，…2分
下面證充分性，當a=-1時，f(x)=

1+2x

1-2x

，
任取x≠0，x∈R．
f(-x)+f(x)=

1+2-x

1-2x

+

1+2x

1-2x

=

2x+1

2x-1

+

1+2x

1-2x

=0恒成立…2分
由A={-1}．…1分
（2）當a=-1時，由y=f(x)=

1+2x

1-2x

，
得x=log2

y-1

y+1

，
互換x，y得f-x(x+1)=log2

x

x+2

，…1分
從而log2

x

x+2

=1，x=-4
所以g（1）=-4．…2分
即B={-4}．…1分
（3）原問題轉化為
g（a）=（x-4）a-（x²-10x+9）＞0，
a∈{a|a＜0，a≠-1，a≠-4}恒成立，
則

x-4＜0 g(0)≥0

…2分
或

x-4=0…1分 g(0)＞0…2分

，
則x的取值范圍為{1，4}…2分

點評：本題考查函數(shù)的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．