Question

如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁=6，底面三角形的邊AB=3，BC=4，AC=5．以上、下底的內(nèi)切圓為底面，挖去一個圓柱后得一個組合體．
（1）畫出按圖示方向組合體的三視圖（要求標(biāo)出尺寸）；
（2）求組合體的體積和表面積．

Answer 1

分析：（1）按圖示方向能作出組合體的三視圖．
（2）由AC²=AB²+BC²，知△ABC為直角三角形，設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為R，則

R

2

(3+4+5)=

1

2

×3×4，解得R=1，由此能求出組合體的體積和表面積．

解答：解：（1）按圖示方向作出組合體的三視圖為：
（2）由已知AC²=AB²+BC²，
∴△ABC為直角三角形，…（2分）
設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為R，
則有

R

2

(3+4+5)=

1

2

×3×4，
∴R=1…（4分）
∵直三棱柱ABC-A1B1C1的體積V棱柱=S△ABC•AA1=

1

2

×3×4×6=36，…（6分）
內(nèi)切圓為底面的圓柱體積V圓柱=πR²•AA₁=6π，…（8分）
∴剩余部分形成的幾何體的體積V=V棱柱-V圓柱=36-6π，…（10分）S直三棱柱表面=18+30+24+2×

1

2

×3×4=84；
S圓柱側(cè)=2π×1×6=12π；
S組合體表=84+12π-2π=84+10π…（12分）

點評：本題考查組合體的三視圖的畫法，考查組合體的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．