Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，BC∥AD．∠BAD=90°，且PA=AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PC⊥CD；
（Ⅱ）設(shè)F為PA上一點(diǎn)，且

AF

=

1

4

AP

，證明：EF∥平面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC，根據(jù)PA⊥平面ABCD，推斷出PA⊥CD，取AD中點(diǎn)G，連結(jié)CG，在直角梯形ABCD中∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，BC∥AD，進(jìn)而求得AG=GD=GC=1，CG⊥AD，推斷出CD⊥AC，進(jìn)而可知CD⊥平面PAC，最后利用線面垂直的性質(zhì)推斷出PC⊥CD．
（Ⅱ）取AG的中點(diǎn)H，連結(jié)BG，EH，F(xiàn)H，E為AB的中點(diǎn)，推斷出EH∥BG，BC=DG=1，BC∥DG，判斷出四邊形BCDG為平行四邊形，得出GC∥CD，根據(jù)已知

AF

=

1

4

AP

，AH=

1

4

AD，推斷出FH∥PD，利用面面平行的判定定理判斷出平面EFH∥平面PCD，進(jìn)而可知EF∥平面PCD．

解答： 解：（Ⅰ）連結(jié)AC，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
取AD中點(diǎn)G，連結(jié)CG，
在直角梯形ABCD中∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，BC∥AD，
∴AG=GD=GC=1，CG⊥AD，
∴CD⊥AC，
∴CD⊥平面PAC，
∴PC⊥CD．


（Ⅱ）取AG的中點(diǎn)H，連結(jié)BG，EH，F(xiàn)H，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴EH∥BG，
又BC=DG=1，BC∥DG，
∴四邊形BCDG為平行四邊形，
∴GC∥CD，
∵

AF

=

1

4

AP

，AH=

1

4

AD，
∴FH∥PD，
∴平面EFH∥平面PCD，
∴EF∥平面PCD．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面平行，垂直的性質(zhì)及判定定理的應(yīng)用．作為基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握．