Question

有三個(gè)生活小區(qū)，分別位于A，B，C三點(diǎn)處，且AB=AC=20

7

，BC=40

3

．今計(jì)劃合建一個(gè)變電站，為同時(shí)方便三個(gè)小區(qū)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線(xiàn)上的P點(diǎn)處，建立坐標(biāo)系如圖，且∠ABO≈

2

7

π．
（Ⅰ）若希望變電站P到三個(gè)小區(qū)的距離和最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？
（Ⅱ）若希望點(diǎn)P到三個(gè)小區(qū)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一：∠PBO=α，表示出點(diǎn)P到A，B，C的距離之和為y，利用導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最小值；
方法二：設(shè)點(diǎn)P（0，b）（0≤b≤40），P到A，B，C的距離之和為f(b)=40-b+2

b2+1200

(0≤b≤40)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（0，b）（0≤b≤40），則|PA|=40-b，點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為g（b）求出
g（b）=

40-b，(0≤b≤5) b2+1200 ，(5＜b≤40)

，當(dāng)0≤b≤5時(shí)，g（b）=40-b在[0，5]上是減函數(shù)，當(dāng)5＜b≤40時(shí)，g(b)=

b2+1200

在（5，40]上是增函數(shù)，推出g（b）＞g（5）=35，得到當(dāng)b=5時(shí)，g（b）_min=35，這時(shí)點(diǎn)P在OA上距O點(diǎn)5km．

解答：解：在Rt△AOB中，y=k₂x，則|OA|=

(20 7 )2-(20 3 )2

=40（1分）
（Ⅰ）方法一：∠PBO=α（0≤α≤

2

7

π），
點(diǎn)P到A，B，C的距離之和為y=2×

20 3

cosα

+40-20

3

tanα=40+20

3

×

2-sinα

cosα

（5分）y′=20

3

×

2sinα-1

cos2α

，令y′=0即sinα=

1

2

，
又0≤α≤

2

7

π，從而α=

π

6

當(dāng)0≤α＜

π

6

時(shí)，y′＜0；當(dāng)

π

6

＜α≤

2π

7

時(shí)，y'＞0．
∴當(dāng)α=

π

6

時(shí)，y=40+20

3

×

2-sinα

cosα

取得最小值
此時(shí)OP=20

3

tan

π

6

=20

3

×

3

3

=20，
即點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)．（8分）
方法二：設(shè)點(diǎn)P（0，b）（0≤b≤40），
則P到A，B，C的距離之和為f(b)=40-b+2

b2+1200

(0≤b≤40)，
求導(dǎo)得f′(b)=

2b

b2+1200

-1（5分）
由f'（b）=0即2b=

b2+1200

，解得b=20
當(dāng)0≤b＜20時(shí)，f′（b）＜0；當(dāng)20＜b≤40時(shí)，f'（b）＞0
∴當(dāng)b=20時(shí)，f（b）取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P為OA的中點(diǎn)．（8分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（0，b）（0≤b≤40），則|PA|=40-b，|PB|=|PC|=

b2+1200

點(diǎn)P到A，B，C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為g（b）
①若|PA|≥|PB|即40-b≥

b2+1200

?0≤b≤5，則g（b）=40-b；
②若|PA|＜|PB|即40-b＜

b2+1200

?5＜b≤40，則g(b)=

b2+1200

；
∴g（b）=

40-b，(0≤b≤5) b2+1200 ，(5＜b≤40)

（11分）
當(dāng)0≤b≤5時(shí)，g（b）=40-b在[0，5]上是減函數(shù)，∴g（b）_min=g（5）=35
當(dāng)5＜b≤40時(shí)，g(b)=

b2+1200

在（5，40]上是增函數(shù)，∴g（b）＞g（5）=35
∴當(dāng)b=5時(shí)，g（b）_min=35，這時(shí)點(diǎn)P在OA上距O點(diǎn)5km．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題．