如圖，已知橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)及兩條直線l1：x=-
a
2
 
c
，l2：x=
a
2
 
c
，其中c=
a
2
 
-
b
2
 
，且l1，l2分別交x軸于C、D兩點．從l1上一點A發(fā)出一條光線經(jīng)過橢圓的左焦點F被石軸反射后與l2交于點B．若AF⊥BF，且∠ABD=75°，則橢圓的離心率等于（　�。�
分析：根據(jù)光線反射的幾何性質(zhì)，得∠AFC=∠AFC=45°，從而得到Rt△ACF與Rt△BDF都是等腰直角三角形．Rt△ABF中算出∠ABF=30°，得到|BF|=
3
|AF|，從而有|DF|=
3
|CF|，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的等式，化簡整理即可得到該橢圓的離心率．
解答：解：根據(jù)題意，得∠AFC=∠AFC=
1
2
（180°-90°）=45°
∴Rt△ACF與Rt△BDF都是等腰直角三角形．
∵∠ABD=75°，∴∠ABF=75°-45°=30°
Rt△ABF中，tan30°=
|AF|
|BF|
=
3
3
，得|BF|=
3
|AF|
∵|CF|=
2
2
|AF|，|DF|=
2
2
|BF|，∴|DF|=
3
|CF|…（*）
∵橢圓方程是
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，
∴左焦點F（-c，0）
因此，|DF|=
a2
c
+c，|CF|=
a2
c
-c，代入（*）得
a2
c
+c=
3
（
a2
c
-c），即（
3
+1）c=（
3
-1）
a2
c

∴兩邊都除以a，得（
3
+1）e=（
3
-1）
1
e
，得e2=
(
3
-1)2
2

∴離心率e=
3
-1
2
=
6
-
2
2
（舍負）
故選：A
點評：本題給出光的反射問題，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)和直角三角形的有關(guān)性質(zhì)等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點與F1重合，過F2的直線l與拋物線P相切，切點E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動點T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當λ∈[2，4]時，求橢圓離心率e的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•崇明縣一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）過點P（
2
，
6
），上、下焦點分別為F1、F2，向量
PF1
⊥
PF2
．直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB中點為m（
1
2
，-
3
2
）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求直線l的方程；
（3）記橢圓在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D，若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與區(qū)域D有公共點，試求m的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•梅州一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過點A的動直線l與橢圓C相交于PQ兩點，且
AP
•
AQ
=0．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•崇明縣二模）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），M為橢圓上的一個動點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A、B分別為橢圓的一個長軸端點與短軸的端點．當MF2⊥F1F2時，原點O到直線MF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求a，b滿足的關(guān)系式；
（2）當點M在橢圓上變化時，求證：∠F1MF2的最大值為
π
2
；
（3）設(shè)圓x2+y2=r2（0＜r＜b），G是圓上任意一點，過G作圓的切線交橢圓于Q1，Q2兩點，當OQ1⊥OQ2時，求r的值．（用b表示）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案