Question

12．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2）判斷該定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l被圓C截得的弦最長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，則$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，即可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2）由D（3，1）坐標(biāo)代入圓C的方程，得左邊=（3-1）²+（1-2）²=5＜25=右邊，點(diǎn)D（3，1）在圓C內(nèi)；
（3）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心C（1，2）時(shí)，被截得的弦最長(zhǎng)，可知直線l的斜率k_l=k_CD，由k_l=-$\frac{2m+1}{m+1}$，則k_CD=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，即可求得m的值．

解答 解：（1）證明：將直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
整理得：m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
由于m的任意性，則$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)D（3，1）；
（2）把點(diǎn)D（3，1）坐標(biāo)代入圓C的方程，得左邊=（3-1）²+（1-2）²=5＜25=右邊，
∴點(diǎn)D（3，1）在圓C內(nèi)；
（3）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心C（1，2）時(shí)，被截得的弦最長(zhǎng)（等于圓的直徑長(zhǎng)），
此時(shí)，直線l的斜率k_l=k_CD，
由直線l的方程得k_l=-$\frac{2m+1}{m+1}$，
由點(diǎn)C、D的坐標(biāo)得k_CD=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{2m+1}{m+1}$=-$\frac{1}{2}$，解得：m=-$\frac{1}{3}$，
所以，當(dāng)m=-$\frac{1}{3}$，時(shí)，直線l被圓C截得的弦最長(zhǎng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．