Question

有n個(gè)首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，設(shè)第m個(gè)數(shù)列的k項(xiàng)為a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差為d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差數(shù)列．
（1）當(dāng)d₃=2時(shí)，求a₃₂，a₃₃，a₃₄以及a_3n；
（2）證明d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多項(xiàng)式），并求p₁+p₂的值；
（3）當(dāng)d₁=1，d₂=3時(shí)，將數(shù)列{d_m}分組如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），…（每組數(shù)的個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列），設(shè)前m組中所有數(shù)之和為（c_m）⁴，（c_m＞0），求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)d₃=2時(shí)，由題意可知，a₃₁=1，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）先根據(jù)首項(xiàng)和公差寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式表示出數(shù)列a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn中的第1項(xiàng)減第2項(xiàng)，第3項(xiàng)減第4項(xiàng)，…，第n項(xiàng)減第n-1項(xiàng)，由此數(shù)列也為等差數(shù)列得到表示出的差都相等，進(jìn)而得到d_n是首項(xiàng)d₁，公差為d₂-d₁的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出d_m的通項(xiàng)，令p₁=2-m，p₂=m-1求出p₁+p₂即可；
（3）由d₁=1，d₂=3，代入可確定出d_m的通項(xiàng)，根據(jù)題意的分組規(guī)律，得到第m組中有2m-1個(gè)奇數(shù)，所以第1組到第m組共有從1加到2m-1個(gè)奇數(shù)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出和，從而表示出前m²個(gè)奇數(shù)的和，又前m組中所有數(shù)之和為（c_m）⁴（c_m＞0），即可得到c_m=m，從而可確定出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減可求和
解答：解：（1）當(dāng)d₃=2時(shí)，由題意可知a₃₁=1
∴a₃₂=a₃₁+d₃=3，a₃₃=a₃₁+2d₃=5，a₃₄=a₃₁+3d=7a₃₁
a_3n=a₃₁+（n-1）d₃=2n-1
（2）由題意知，：（Ⅰ）由題意知a_mn=1+（n-1）d_m．
則a_2n-a_1n=[1+（n-1）d₂]-[1+（n-1）d₁]=（n-1）（d₂-d₁），
同理，a_3n-a_2n=（n-1）（d₃-d₂），a_4n-a_3n=（n-1）（d₄-d₃），…，a_nn-a_（n-1）n=（n-1）（d_n-d_n-1）．
又因?yàn)閍_1n，a_2n，a_3n，，a_nn成等差數(shù)列，所以a_2n-a_1n=a_3n-a_2n=…=a_nn-a_（n-1）n．
故d₂-d₁=d₃-d₂=…=d_n-d_n-1，即d_n是公差為d₂-d₁的等差數(shù)列．
所以，d_m=d₁+（m-1）（d₂-d₁）=（2-m）d₁+（m-1）d₂．
令p₁=2-m，p₂=m-1，則d_m=p₁d₁+p₂d₂，此時(shí)p₁+p₂=1．
（3）當(dāng)d₁=1，d₂=3時(shí)，d_m=2m-1（m∈N^*）．
數(shù)列d_m分組如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），．
按分組規(guī)律，第m組中有2m-1個(gè)奇數(shù)，
所以第1組到第m組共有1+3+5+…+（2m-1）=m²個(gè)奇數(shù)．
注意到前k個(gè)奇數(shù)的和為1+3+5+…+（2k-1）=k²，
所以前m²個(gè)奇數(shù)的和為（m²）²=m⁴．
即前m組中所有數(shù)之和為m⁴，所以（c_m）⁴=m⁴．
因?yàn)閏_m＞0，所以c_m=m，從而 ．
所以S_n=1•2+3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．②
②-①得：S_n=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=
=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用錯(cuò)位相減的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用函數(shù)的思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一道難題．