設(shè)函數(shù)f（x）=x+
1
x
．
（1）證明：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）用函數(shù)奇偶性的定義證明；
（2）利用增函數(shù)的定義證明．
解答： 證明：（1）函數(shù)f（x）=x+
1
x
為奇函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）=x+
1
x
的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=-x+
1
-x
=-（x+
1
x
）=-f（x）．
∴函數(shù)f（x）=x+
1
x
為奇函數(shù)．
（2）設(shè)x1，x2是區(qū)間（0，1）上的任意兩個(gè)數(shù)，且x1＜x2．
f（x1）-f（x2）=x1+
1
x1
-（x2+
1
x2
）=x1-x2+
1
x1
-
1
x2
=（x1-x2）（1-
1
x1x2
）=
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
．
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，x1x2-1＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0  即f（x1）＞f（x2）．
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，準(zhǔn)確理解它們的定義是解決該類問題的基礎(chǔ)，屬于基本知識(shí)的考查．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2-|sinx|+1的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=1，
a
與
b
的夾角為60°，
x
=2
a
-
b
，
y
=3
b
-
a
，則
x
與
y
的夾角的余弦值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn+n=2an（n∈N*）．
（1）證明：數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：
a1
a2
+
a2
a3
+…+
an
an+1
＞
n
2
-
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極從標(biāo)系中，P（ρ1，θ1）與Q（ρ2，θ2） 滿足ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=0，則P、Q兩點(diǎn)位置的關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法中，不正確的個(gè)數(shù)為（　�。�
①“|x|=|y|”是“x=y”的必要不充分條件；
②命題p：?x∈R，sinx≤1，則?p：?x∈R，sinx＞1；
③命題“若x，y都是偶數(shù)，則x+y是偶數(shù)”的否命題是“若x，y不是偶數(shù)，則x+y不是偶數(shù)”；
④命題p：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，q：正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則（?p）∨（?q）為真命題．
⑤“m＜
1
4
”是“一元二次方程x2+x+m=0有實(shí)數(shù)解”的充分非必要條件．
A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求一次函數(shù)f（x），使f{f[f（x）]}=8x+7．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求經(jīng)過點(diǎn)（4，-3）且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)命題p：方程
x2
1-2m
+
y2
m+2
=1表示雙曲線；命題q：?x0∈R，x02+2mx0+2-m=0
（Ⅰ）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求使“p∨q”為假命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍．．

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