Question

已知圓C₁：x²+y²-2x-2y-3=0，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2）交圓C₁于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若|AB|=2

3

，求直線l的方程；
（Ⅱ）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（8，5）的圓C₂與圓C₁相切于點(diǎn)N（2，3），求圓C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把C₁化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓心坐標(biāo)與半徑，再分類討論，利用垂徑定理，結(jié)合弦長(zhǎng)，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）求出直線l₁的方程，設(shè)E為線段MN的中點(diǎn)，求出MN的垂直平分線為l₂，利用圓C₂的圓心O₂既在直線l₁上，也在直線l₂上，求出圓心坐標(biāo)，從而可得圓C₂的方程．

解答：解：（Ⅰ）把C₁化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得：（x-1）²+（y-1）²=5，
則圓C₁的圓心O₁（1，1），半徑r1=

5

．----------------------------（1分）
由直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，2），設(shè)直線l的方程為y-2=kx，即kx-y+2=0，-----------------（2分）
過(guò)O₁作O₁D⊥AB，則D是AB的中點(diǎn)，所以DB=

1

2

AB=

3

，
在Rt△O₁DB中，O₁D=

DB2+O1B2

=

2

，---------------------------（3分）
所以O(shè)₁到直線l的距離d=

|k+1|

k2+1

=O₁D=

2

，∴k=1，此時(shí)直線l：y=x+2；----------------（5分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線l：x=0，此時(shí)A（0，3），B（0，-1），|AB|=4≠2

3

，不滿足題意，--（6分）
故直線l的方程為：y=x+2．-----------------------------------------------------（7分）
（Ⅱ）因?yàn)閳AC₂與圓C₁相切于點(diǎn)N（2，3），設(shè)經(jīng)過(guò)O₁N的直線為l₁，則kl1=

3-1

2-1

=2，
所以直線l₁的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；-----------------（9分）
設(shè)E為線段MN的中點(diǎn)，由M（8，5），N（2，3）可得E（5，4）．
因?yàn)閗_MN=

5-3

8-2

=

1

3

，設(shè)MN的垂直平分線為l₂，則kl2=-3，
所以直線l₂的方程為y-4=-3（x-5），即3x+y-19=0，------------------（11分）
由題意知，圓C₂的圓心O₂既在直線l₁上，也在直線l₂上，即O₂為兩直線的交點(diǎn)，聯(lián)立兩直線方程得：

2x-y-1=0 3x+y-19=0

，∴

x=4 y=7

，即O₂（4，7），--------------------------------（13分）
又r22=(4-8)2+(7-5)2=20，所以圓C₂的方程為：（x-4）²+（y-7）²=20．----------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．