Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a²+b²+ab=c²．
（1）求C；
（2）設(shè)cosAcosB=，=，求tanα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用余弦定理表示出cosC，將已知等式變形后代入求出cosC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）已知第二個等式分子兩項利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切，利用多項式乘多項式法則計算，由A+B的度數(shù)求出sin（A+B）的值，進而求出cos（A+B）的值，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡cos（A+B），將cosAcosB的值代入求出sinAsinB的值，將各自的值代入得到tanα的方程，求出方程的解即可得到tanα的值．
解答：解：（1）∵a²+b²+ab=c²，即a²+b²-c²=-ab，
∴由余弦定理得：cosC===-，
又C為三角形的內(nèi)角，
則C=；
（2）由題意==，
∴（cosA-tanαsinA）（cosB-tanαsinB）=，
即tan²αsinAsinB-tanα（sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan²αsinAsinB-tanαsin（A+B）+cosAcosB=，
∵C=，A+B=，cosAcosB=，
∴sin（A+B）=，cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=-sinAsinB=，即sinAsinB=，
∴tan²α-tanα+=，即tan²α-5tanα+4=0，
解得：tanα=1或tanα=4．
點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．