Question

已知矩形ABCD的對角線交于點P（2，0），邊AB所在直線的方程為x-3y-6=0，點（-1，1）在邊AD所在的直線上，
（1）求矩形ABCD的外接圓的方程；
（2）已知直線l：（1-2k）x+（1+k）y-5+4k=0（k∈R），求證：直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由l_AB：x-3y-6=0且AD⊥AB，點（-1，1）在邊AD所在的直線上，得到AD所在直線的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0，求出交點的坐標(biāo)，得到結(jié)果．
（2）根據(jù)所給的直線的方程看出直線是一個過定點的直線，判斷出定點在圓的內(nèi)部，證明出直線與圓一定有交點，設(shè)PQ與l的夾角為θ，則d=|PQ|sinθ=

5

sinθ，得到當(dāng)θ=90°時，d最大，|MN|最短，再寫出直線的方程．

解答：解：（1）由l_AB：x-3y-6=0且AD⊥AB，點（-1，1）在邊AD所在的直線上
∴AD所在直線的方程是：y-1=-3（x+1）即3x+y+2=0
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

得A（0，-2）…（3分）
∴|AP|=

4+4

=2

2

∴矩形ABCD的外接圓的方程是：（x-2）²+y²=8…（6分）
（2）直線l的方程可化為：k（-2x+y+4）+x+y-5=0l可看作是過直線-2x+y+4=0和x+y-5=0的交點（3，2）的直線系，即l恒過定點Q（3，2）
由于（3-2）²+2²=5＜8知點在圓內(nèi)，
∴直線與圓恒有交點，
設(shè)PQ與l的夾角為θ，則d=|PQ|sinθ=

5

sinθ
當(dāng)θ=90°時，d最大，|MN|最短，
此時l的斜率為PQ斜率的負(fù)倒數(shù)-

1

2

，
∴l(xiāng)：y-2=-

1

2

（x-3）
即x+2y-7=0

點評：本題看出直線的方程和圓的方程的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是寫出圓的方程，再表示出圓的弦，求出最長的弦，本題是一個解析幾何的綜合題目．