Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，記g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]．若y=g（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．[2，+∞）
B．（0，1）∪（1，2）
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先表述出函數(shù)f（x）的解析式然后代入將函數(shù)g（x）表述出來(lái)，然后對(duì)底數(shù)a進(jìn)行討論即可得到答案．
解答：解：已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，
則f（x）=log_ax，記g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（log_ax）²+（log_a2-1）log_ax．
當(dāng)a＞1時(shí)，
若y=g（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，y=log_ax為增函數(shù)，
令t=log_ax，t∈[，log_a2]，要求對(duì)稱(chēng)軸，矛盾；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若y=g（x）在區(qū)間上是增函數(shù)，y=log_ax為減函數(shù)，
令t=log_ax，t∈[log_a2，]，要求對(duì)稱(chēng)軸，
解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．這里注意指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)的大小有關(guān)，即當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)大于0小于1時(shí)單調(diào)遞減．