Question

（1）設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a≠b≠c，求證：a³+b³＞a²b+ab²
（2）求證：

3

+2

2

＜2+

7

．

Answer 1

分析：（1）利用分析法：證明使a³+b³＞a²b+ab²成立的充分條件成立．
（2）利用分析法，找出是不等式成立的充分條件即可證明．

解答：（1）證明：（分析法）a³+b³＞a²b+ab² 成立，
只需證（a+b）（a²-ab+b²）＞ab（a+b）成立．
又因?yàn)閍＞0，故只需證a²-ab+b²＞ab成立，
而依題設(shè)a≠b，則（a-b）²＞0顯然成立，由此命題得證．
（2）證明：∵

3

+2

2

和2+

7

都是正數(shù)，
要證

3

+2

2

＜2+

7

只需證：(

3

+2

2

)2＜(2+

7

)2
整理得：11+2

6

＜11+2

7

即證：

6

＜

7

即證6＜7
∵6＜7 當(dāng)然成立
∴原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用分析法和綜合法證明不等式，此題還可用比較法證明，體會(huì)不同方法間的區(qū)別聯(lián)系，屬于中檔題．