Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F(xiàn)（x）=f（x）+2，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有F（x-5）=F（5-x），
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=f（x）+2（x+1）+ alnx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）函數(shù)h（x）=2lnx-f（x）-k有幾個(gè)零點(diǎn)？

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)得F（x）=x²+bsinx，
∵F（x-5）=F（5-x），
則F（-x）=F（x），
所以x²-bsinx=x²+bsinx，
所以bsinx=0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，
∴b=0，
故f（x）=x²-2；
（Ⅱ）由g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx，
求導(dǎo)數(shù)得g′（x），
g（x）在（0，1）上恒單調(diào)，只需g′（x）≥0或g′（x）≤0在（0，1）上恒成立，
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0恒成立，
所以a≥-（2x²+2x）或a≤-（2x²+2x）在（0，1）上恒成立，
記u（x）=-（2x²+2x），0＜x＜1，
可知-4＜u（x）＜0，
∴a≥0或a≤-4；
（Ⅲ）令y=，，
令y′＞0，得，
y′＜0，得，
∴時(shí)，y有極大值ln2＞0，
x→0時(shí)，y→+∞，x→+∞時(shí)，y→-∞，
∴k＞ln2時(shí)，h（x）無(wú)零點(diǎn)；k=ln2時(shí)，h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
k＜ln2時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)。