Question

如圖，在三棱錐P-ABC種，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求證：PC⊥AB
（2）設點E為棱PA的中點，證明∠CEB為二面角B-AP-C的平面角，并求其正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用SSS可證得△APC≌△BPC，則由PC⊥AC，可得PC⊥BC，再由線面垂直的判定定理得到PC⊥平面ABC，最后由線面垂直的性質（定義）得到PC⊥AB
（2）結合（1）中結論及∠ACB=90°，由線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，進而BC⊥AP，連結BE，CE，根據等腰三角形“三線合一”得到BE⊥AP，證得PA⊥平面BEC，進而EC⊥AP．可得∠BEC是二面角B-AP-C的平面角，解Rt△BCE可得答案．

解答：證明：（1）∵AC=BC，AP=BP，PC=PC
∴△APC≌△BPC，
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC
又∵AC∩BC=C，AC，BC?平面ABC，
∴PC⊥平面ABC，
又∵AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．---（4分）
（也可連接點P與AB中點D，通過證明AB⊥平面PCD而得到）
（2）由PC⊥BC，BC⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC?平面PAC
可得BC⊥平面PAC．
又∵AP?平面PAC
∴BC⊥AP，
連結BE，CE，
∵BP=AB，點E為棱PA的中點，
∴BE⊥AP．
又∵BC∩BE=B，BC，BE?平面BEC
∴PA⊥平面BEC，
∵EC?平面BEC，
∴EC⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．---（3分）
在Rt△BCE中，BC=2，BE=

3

2

AB=

6

∴sin∠BEC=

BC

BE

=

6

3

--（3分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定及性質，熟練掌握空間線面垂直與線線垂直之間的轉化及理解二面角的平面角的概念是解答的關鍵．