已知函數(shù)
(1)當m=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)當m=1時,證明方程f(x)=g(x)有且僅有一個實數(shù)根;
(3)若x∈(1,e]時,不等式f(x)-g(x)<2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(1)m=2時,,求出導函數(shù)f'(x),從而求出f'(1)得到切線的斜率,求出切點,根據(jù)點斜式可求出切線方程;
(2)m=1時,令,求出h'(x),判定符號得到函數(shù)在(0,+∞)上的單調(diào)性,然后判定的符號,根據(jù)根的存在性定理可得結論;
(3)恒成立,即m(x2-1)<2x+2xlnx恒成立,討論x2-1的符號將m分離出來,利用導數(shù)研究不等式另一側的最值,從而求出m的取值范圍.
解答:解:(1)m=2時,,,
切點坐標為(1,0),
∴切線方程為y=4x-4…(2分)
(2)m=1時,令
,
∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).…(4分)
,
∴y=h(x)在(0,+∞)內(nèi)有且僅有一個零點
∴在(0,+∞)內(nèi)f(x)=g(x)有且僅有一個實數(shù)根     …(6分)
(或說明h(1)=0也可以)
(3)恒成立,即m(x2-1)<2x+2xlnx恒成立,
又x2-1>0,則當x∈(1,e]時,恒成立,
,只需m小于G(x)的最小值,
,
∵1<x≤e,∴l(xiāng)nx>0,∴當x∈(1,e]時G'(x)<0,
∴G(x)在(1,e]上單調(diào)遞減,
∴G(x)在(1,e]的最小值為
則m的取值范圍是.            …(12分)
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及根的存在性和利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,同時考查了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
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