Question

已知函數(shù)f（x）=sin（x+α），g（x）=cos（x+β），x∈R，α、β∈（-

π

2

，

π

2

）．
（Ⅰ）若α=-

π

4

，β=

π

4

，判斷h（x）=f²（x）+g²（x）的奇偶性；
（Ⅱ） 若α=

π

3

，t（x）=f（x）+g（x）是偶函數(shù)，求β；
（Ⅲ）是否存在α、β，使得t（x）=f（x）+g（x）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)？若存在，試確定α與β的關系式；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ） 由題意可得 h（x）=f²（x）+g²（x）=1-sin2x，可得h（x）是非奇非偶函數(shù)．
（Ⅱ）由h（x）偶函數(shù)，h（x）=h（-x），求得sinβ=

1

2

，再根據(jù)β∈（-

π

2

，

π

2

），可得β 的值．
（Ⅲ）假設存在α、β，使得t（x）=f（x）+g（x）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)，由t（0）=0，結合α、β的范圍可得即α-β=-

π

2

或α+β=-

π

2

，再加以檢驗，可得結論．

解答： 解：（Ⅰ） 由題意可得 h（x）=f²（x）+g²（x）=

1-sin2x+1-sin2x

2

=1-sin2x，
故 h（x）是非奇非偶函數(shù)．
（Ⅱ）∵h(x)=sin(x+

π

3

)+cos(x+β)，h(-x)=sin(-x+

π

3

)+cos(-x+β)，h（x）偶函數(shù)，
∴h（x）=h（-x），sin(x+

π

3

)+cos(x+β)=sin(-x+

π

3

)+cos(-x+β)2sinx(cos

π

3

-sinβ)=0，求得sinβ=

1

2

，
再根據(jù)β∈（-

π

2

，

π

2

），可得β=

π

6

，經(jīng)驗證β=

π

6

滿足題意．
（Ⅲ）假設存在α、β，使得t（x）=f（x）+g（x）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)，由t（0）=0，可得sinα=-cosβ．
由 β∈（-

π

2

，

π

2

），可得β-

π

2

∈（-π，0），又α∈（-

π

2

，

π

2

），∴α=β-

π

2

或α+（β-

π

2

）=-π，
即α-β=-

π

2

或α+β=-

π

2

．
當α-β=-

π

2

時，t（x）=f（x）+g（x）=sin（x+α）+cos（x+β）
=sin（x+α）+cos(x+α+

π

2

)=sin（x+α）-sin（x+α）=0，
此時t（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．不合題意，舍去．
當α+β=-

π

2

時，t（x）=f（x）+g（x）=sin（x+α）+cos（x+β）
=sin（x+α）+cos(x-α+

π

2

)=sin（x+α）-sin（x-α）=2cosαsinx，
此時，t（x）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)，故 α+β=-

π

2

滿足條件．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，函數(shù)的奇偶性的定義和判斷方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．