Question

已知以為周期的函數(shù)，其中。若方程

恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為             

 

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x∈（-1，1]，[3，5]，[7，9]上時(shí)，f（x）的圖象為半個(gè)橢圓．根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則需直線y= 與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)橢圓不公共點(diǎn)．把直線分別代入橢圓方程，根據(jù)△可求得m的范圍。解：∵當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，將函數(shù)化為方程（y≥0），∴實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖象如圖所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x∈（1，3]得圖象，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖象，由圖易知直線 y=與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)半橢圓無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，將y=代入中得到，，（9m²+1）x²-72m²x+135m²=0，令t=9m²（t＞0），則（t+1）x²-8tx+15t=0，由△=（8t）²-4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m²＞15，且m＞0得 m ＞，同樣由y=代入由△＜0可計(jì)算得 m＜ ，故可知m的范圍

考點(diǎn)：函數(shù)與方程

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用函數(shù)的周期性以及方程的解的運(yùn)用，屬于中檔題。