Question

已知函數(shù)f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足條件：a₁=1，a_n+1=g（a_n）+1（n∈N^*），．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，并求使得對任意n∈N^*都成立的最大正整數(shù)m；
（Ⅲ）求證：N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)Ⅰ可求出a₁的值且得到數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到a_n+1=2×2^n-1，進(jìn)而得到a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）根據(jù)，可得到，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)法可得到T_n的值，再由可知T_n＜T_n+1，故當(dāng)n=1時(shí)，T_n取得最小值，要使得對任意n∈N^*都成立只要T₁=即可，從而可求出m的值．
（Ⅲ）根據(jù)對任意n≥1恒成立，再由放縮法可得到N^*），進(jìn)而可得證．
解答：解：（Ⅰ）由題意a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
∵a₁=1，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n+1=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）∵，
∴=．
∵，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*．
∴當(dāng)n=1時(shí)，T_n取得最小值．
由題意得，
∴m＜10．
∵m∈Z，
∴m=9．
（Ⅲ）證明：∵，
∴．
點(diǎn)評：本題主要考查求數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和、用放縮法證明不等式的問題．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和計(jì)算能力．