Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+3的單調(diào)遞減區(qū)間為(-

1

3

，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-

1

3

)和（1，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若t∈R，試討論關(guān)于x的方程f（x）=2x²+8x+t的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2ax+b
由題設(shè)得f'（x）=0的根為x=-

1

3

或x=1
由此求得a=b=-1
故f（x）=x³-x²-x+3
（2）g（x）=f（x）-（2x²+8x+t）=x³-3x²-9x+3-t
令g'（x）=3x²-6x-9=0，得x=-1或x=3

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	極大值	減	極小值	增

g（x）_極大值=g（-1）=8-t，g（x）_極小值=g（3）=-24-t
∴當(dāng)8-t＜0，即t＞8時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)8-t=0，即t=8時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)

8-t＞0 -24-t＜0

即-24＜t＜8時(shí)，原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-24-t=0，即t=-24時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-24-t＞0，即t＜-24時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
綜上，當(dāng)t=-24或t=8時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)t＜-24或t＞8時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-24＜t＜8時(shí)，原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根．