Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，數(shù)列{a_n}的通項由a_n=f（a_n-1）（n≥2且n∈N⁺）確定，a₁=$\frac{1}{2}$，則a₂₀₁₁=
$\frac{1}{672}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，可得a_n=f（a_n-1）=$\frac{3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+3}$，（n≥2且n∈N⁺），變形為：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{x+3}$，
∴a_n=f（a_n-1）=$\frac{3{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+3}$，（n≥2且n∈N⁺）
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為$\frac{1}{3}$，首項為2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{3}$（n-1），
解得a_n=$\frac{3}{n+5}$，
則a₂₀₁₁=$\frac{3}{2016}$=$\frac{1}{672}$．
故答案為：$\frac{1}{672}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．