Question

（2012•甘肅一模）已知等差數(shù)列{a_n}的公差d大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且Tn=1-

1

2

bn．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，試比較

1

bn

與Sn+1的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，故只需求出首項和公差就可求其通項公式；由數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n   通過遞推然后兩式相減可求得b_n．
（2）利用等差數(shù)列求和公式得出S_n，S_n+1．以下分別令n=1，2，3，4．比較

1

b n

與S_n+1的大小，再猜想：n≥4時，

1

b n

＞S_n+1．最后利用數(shù)學歸納法證明．

解答：解：（1）設(shè)a_n的首項為a₁，∵a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，
∴

a2+a5=12 a2•a5=27

⇒

a1=1 d=2

∴a_n=2n-1
n=1時，b1=T1=1-

1

2

b1
∴b1=

2

3

n≥2時，Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
兩式相減得 bn=

1

3

bn-1數(shù)列是等比數(shù)列，
∴bn=

2

3

•(

1

3

)n-1
（2）∵S_n=

n[1+(2n-1)]

2

=n²，∴S_n+1=（n+1）²，

1

b n

=

3n

2

．
以下比較

1

b n

與S_n+1的大小：
當n=1時，

1

b 1

=

3

2

，S₂=4，∴

1

b 1

＜S₂，當n=2時，

1

b 2

=

9

2

，S₃=9，∴

1

b 2

＜S₃，
當n=3時，

1

b 3

=

27

2

，S₄=16，∴

1

b 3

＜S₄，
當n=4時，

1

b 4

=

81

2

，S₅=25，∴

1

b 4

＞S₅．猜想：n≥4時，

1

b n

＞S_n+1．
下面用數(shù)學歸納法證明：①當n=4時，已證．
②假設(shè)當n=k （k∈N^*，k≥4）時，

1

b k

＞S_k+1，即

3k

2

＞（k+1）²．
那么n=k+1時，

1

b k+1

=

3k+1

2

=3•

3k

2

＞3（k+1）²=3k²+6k+3
=（k²+4k+4）+2k²+2k-1＞[（k+1）+1]²=S_（k+1）+1，
∴n=k+1時，

1

b n

＞S_n+1也成立．由①②可知n∈N^*，n≥4時，

1

b n

＞S_n+1都成立
綜上所述，當n=1，2，3時，

1

b n

＜S_n+1，當n≥4時，

1

b n

＞S_n+1．

點評：本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)學歸納法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．