Question

14．已知點A，B分別是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右頂點，長軸長為4，離心率為$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點P為橢圓C上除長軸頂點外的任一點，直線AP，PB與直線x=4分別交于點M，N，已知常數(shù)λ＞0，求$λ\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：2a=4，a=2，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設點P（x₀，y₀），分別求得AP和BP的直線方程，求得M和N點坐標，$λ\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{{（1+λ）{x_0}^2-8λ{x_0}+16λ-4}}{4}$，設函數(shù)$f（{x_0}）=\frac{{（1+λ）{x_0}^2-8λ{x_0}+16λ-4}}{4}$，定義域為（-2，2），由函數(shù)的單調(diào)性即可求得$λ\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，A（-a，0），B（a，0），且長軸長為2a=4，a=2，離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
c=1，b²=a²-c²=3，
則a²=4，b²=3．
則橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．------（4分）
（Ⅱ）設點P（x₀，y₀）（x₀≠±2）．
直線AP的方程為$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，令x=4，$y=\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}$，
∴點M坐標為$（4，\frac{{6{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$．
直線BP的方程為$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$，令x=4，$y=\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}$，
∴點N坐標為$（4，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$．
∵$\overrightarrow{PM}=（4-{x_0}，\frac{{{y_0}（4-{x_0}）}}{{{x_0}+2}}）$，$\overrightarrow{PN}=（4-{x_0}，\frac{{{y_0}（4-{x_0}）}}{{{x_0}-2}}）$，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}={（4-{x_0}）^2}+\frac{{{y_0}^2{{（4-x{\;}_0）}^2}}}{{{x_0}^2-4}}=\frac{{{{（4-x{\;}_0）}^2}}}{4}$．
∵$\overrightarrow{PA}=（-2-{x_0}，-{y_0}）$，$\overrightarrow{PB}=（2-{x_0}，-{y_0}）$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={x_0}^2-4+{y_0}^2=\frac{{x{{{\;}_0}^2}-4}}{4}$．
∴$λ\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{{（1+λ）{x_0}^2-8λ{x_0}+16λ-4}}{4}$．
設函數(shù)$f（{x_0}）=\frac{{（1+λ）{x_0}^2-8λ{x_0}+16λ-4}}{4}$，定義域為（-2，2），
當$\frac{4λ}{1+λ}≥2$時，即λ≥1時，f（x₀）在（-2，2）上單調(diào)遞減，f（x₀）的取值范圍為（λ，9λ），
當$\frac{4λ}{1+λ}＜2$時，即0＜λ＜1時，f（x₀）在$（-2，\frac{4λ}{1+λ}）$上單調(diào)遞減，在$（\frac{4λ}{1+λ}，2）$上單調(diào)遞增，f（x₀）的取值范圍為$[\frac{3λ-1}{1+λ}，9λ）$．
綜上，當λ≥1時，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍為（λ，9λ），
當0＜λ＜1時，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}+λ\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍為$[\frac{3λ-1}{1+λ}，9λ）$．------（12分）

點評 本題考查拋物線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的坐標運算，考查函數(shù)與圓錐曲線的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．