Question

 

如圖，圓柱內有一個三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O直徑。

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）設AB=，在圓柱內隨機選取一點，記該點取自于三棱柱內的概率為。

（i）當點C在圓周上運動時，求的最大值；

（ii）記平面與平面所成的角為，當取最大值時，求的值。

 

 

Answer 1

【答案】

 

【命題意圖】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、必然與或然思想。

【解析】（Ⅰ）因為平面ABC，平面ABC，所以，

因為AB是圓O直徑，所以，又，所以平面，

而平面，所以平面平面。

（Ⅱ）（i）設圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為

=，又因為，

所以=，當且僅當時等號成立，

從而，而圓柱的體積，

故=當且僅當，即時等號成立，

所以的最大值是。

（ii）由（i）可知，取最大值時，，于是以O為坐標原點，建立空間直角坐標系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），

因為平面，所以是平面的一個法向量，

設平面的法向量，由，故，

取得平面的一個法向量為，因為，

所以。