Question

18．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A=AB=2BC=2，則異面直線AC與BD₁所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 幾何法：
連結(jié)AC，BD，交于點O，取DD₁中點E，連結(jié)OE，AE，則∠EOA是異面直線AC與BD₁所成角（或所成角的補角），由此利用余弦定理能求出異面直線AC與BD₁所成角的余弦值．
向量法：
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC與BD₁所成角的余弦值．

解答 解：（幾何法）
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連結(jié)AC，BD，交于點O，取DD₁中點E，連結(jié)OE，AE，
∵A₁A=AB=2BC=2，ABCD是矩形，
∴O是BD中點，∴EO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BD₁=$\frac{3}{2}$，
∴∠EOA是異面直線AC與BD₁所成角（或所成角的補角），
又AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴cos∠EOA=$\frac{E{O}^{2}+A{O}^{2}-A{E}^{2}}{2•EO•OA}$=$\frac{\frac{9}{4}+\frac{5}{4}-2}{2×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴異面直線AC與BD₁所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．
（向量法）
在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A（1，0，0），C（0，2，0），B（1，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-2，2），
設(shè)異面直線AC與BD₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{B{D}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}×3}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴異面直線AC與BD₁所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．