Question

某地開發(fā)了一個旅游景點，第1年的游客約為100萬人，第2年的游客約為120萬人．某數(shù)學(xué)興趣小組綜合各種因素預(yù)測：①該景點每年的游客人數(shù)會逐年增加；②該景點每年的游客都達不到130萬人．該興趣小組想找一個函數(shù)y=f（x）來擬合該景點對外開放的第x（x≥1）年與當(dāng)年的游客人數(shù)y（單位：萬人）之間的關(guān)系．
（1）根據(jù)上述兩點預(yù)測，請用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)y=f（x）所具有的性質(zhì)；
（2）若f（x）=

m

x

+n，試確定m，n的值，并考察該函數(shù)是否符合上述兩點預(yù)測；
（3）若f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），欲使得該函數(shù)符合上述兩點預(yù)測，試確定b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）預(yù)測①描述的是函數(shù)的單調(diào)性，預(yù)測②描述的是函數(shù)的最值，可以轉(zhuǎn)化成恒成立來描述，從而可以從單調(diào)性和恒成立來描述；
（2）根據(jù)題意可知，點（1，100）和（2，120）均在函數(shù)f（x）上，代入即可求得m，n的值，確定函數(shù)f（x）=-

40

x

+140，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可確定f（x）的單調(diào)性，和f（x）的取值范圍，對應(yīng)預(yù)測①②，即可判斷出答案；
（3）根據(jù)題意可知，點（1，100）和（2，120）均在函數(shù)f（x）上，代入即可求得a與b的關(guān)系，c與b的關(guān)系，將a和c都用b來表示，得到f（x）的解析式，要滿足預(yù)測①，則f′（x）＞0，確定出兩種情況，對兩種情況分別研究預(yù)測②的恒成立問題，即可求得實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）預(yù)測①：f（x）在[1，+∞） 上單調(diào)遞增；
預(yù)測②：f（x）＜130 對x∈[1，+∞） 恒成立；                            
（2）將（1，100）、（2、120）代入到y(tǒng)=

m

x

+n 中，得

100=m+n 120= m 2 +n

，
解得

m=-40 n=140

，
∵f（x）=-

40

x

+140，
∴f′（x）=

40

x2

＞0，
故f（x）在[1，+∞） 上單調(diào)遞增，符合預(yù)測①；                          
又當(dāng)x≥4 時，f（x）=-

40

x

+140≥130，
∴此時f（x）不符合預(yù)測②；
（3）∵f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），
將（1，100）、（2、120）代入到f（x）=a•b^x+c，
∴

100=ab+c 120=ab2+c

，解得

a= 20 b(b-1) c=100- 2 b-1

，
∴f′（x）=ab^xlnb，要想符合預(yù)測①，則f′（x）＞0，
∴alnb＞0，
∴

a＞0 b＞1

或

a＜0 0＜b＜1

，
[1]當(dāng)b＞1時，a=

20

b(b-1)

＞0，此時符合預(yù)測①，
但由f（x）≥130，解得x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)，
即當(dāng)x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)時，f（x）≥130，
∴此時f（x）不符合預(yù)測②；
[2]當(dāng)0＜b＜1，a=

20

b(b-1)

＜0，此時符合預(yù)測①，
又由x≥1，知b^x∈（0，b]，
∴abx∈[ab，0），
∴f（x）∈[ab+c，c），
要使得f（x）也符合預(yù)測②，則c≤130，
∴100-

20

b-1

≤130，
又0＜b＜1，解得0＜b≤

1

3

．
綜上所述，b的取值范圍是（0，

1

3

]．

點評：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題考查了運用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識解決實際問題的能力．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進行求解．屬于中檔題．