已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.

（Ⅰ）求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)bn；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an=lg（1+），記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與lgbn+1的大小，并證明你的結(jié)論.

 

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d，由題意得

解得  ∴bn=2n－1.

（Ⅱ）由bn=2n－1，知

Sn=lg（1+1）+lg（1+）+…+lg（1+）

=lg［（1+1）（1+）…（1+）］，

lgbn+1=lg.

因此要比較Sn與lgbn+1的大小，可先比較（1+1）（1+）…（1+）與的大小.

取n=1，有（1+1）＞，

取n=2，有（1+1）（1+）＞，……

由此推測(cè)（1+1）（1+）…（1+）＞.       ①

若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：Sn＞lgbn+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式.

（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立.

（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞.

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+）…（1+）［1+］＞

·（1+）=（2k+2）.

∵［（2k+2）］2－（）2

＝，

∴.

因而 

這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.

由（i），（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立.

由此證得：Sn＞lgbn+1.

 


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.在等比數(shù)列{an}中，an＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又2是a3與a5的等比中項(xiàng)．設(shè)bn=5-log2an．
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1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，求Tn．

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充要條件
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a
2
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-
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2
n
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（2）設(shè)bn=(
2
an+an+1
)2，求證b1+b2+b3+…+bn＜
n
n+1
(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：013

已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列, 且bn＝an+an+1, 則｛bn｝是

[　　]

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C.等比數(shù)列或等差數(shù)列　　　　　　  D.不是等比也不是等差數(shù)列

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