Question

已知函數(shù)f（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x99

99

，g（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x99

99

，設(shè)F（x）=f（x-1）•g（x+1）且函數(shù)F（x）的零點在區(qū)間[a，a+1]或[b，b+1]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則a+b的值為（　�。�

• A、-2
• B、0
• C、2
• D、4

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)f（x）和g（x）的零點所在的區(qū)間，即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（0）=1＞0，f（1）=1-1+

1

2

-

1

3

+…+

1

99

-

1

99

＞0，f（2）=1-2+

22

2

-

23

3

+…+

298

98

-

299

99

＜0，
則函數(shù)f（x）在（1，2）內(nèi)存在零點，
∵f（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x99

99

，
∴當(dāng)x∈（1，2）時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-1+x-x²+x³-…-x⁹⁸=

-(1+x99)

1+x

＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
即在區(qū)間（1，2）函數(shù)存在唯一的零點．
∵g（0）=1＞0，g（-1）=1-1-

1

2

-

1

3

-…-

1

99

＜0，∴函數(shù)g（x）在（-1，0）內(nèi)存在零點，
當(dāng)x∈（-1，0）時，g′（x）=1-x+x²-x³++x⁹⁸=

1+x99

1+x

＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
即在區(qū)間（-1，0）函數(shù)存在唯一的零點．
由F（x）=f（x-1）•g（x+1）=0得f（x-1）=0或g（x+1）=0，
即1＜x-1＜2或-1＜x+1＜0，
解得2＜x＜3或-2＜x＜-1，即F（x）的零點在（-2，-1）或（2，3）內(nèi)，
∵函數(shù)F（x）的零點在區(qū)間[a，a+1]或[b，b+1]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，
∴a=-2，b=2，即a+b=0．

點評：本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及確定兩個函數(shù)零點的取值區(qū)間是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．