Question

如圖所示的是一個(gè)醫(yī)院的直角走廊，寬為1.5米，有一轉(zhuǎn)動(dòng)靈活的平板手推車寬為1米，問(wèn)要想順利推過(guò)走廊，平板車的長(zhǎng)度不能超過(guò)多少米？

      

Answer 1

解析：我們不妨研究小車長(zhǎng)度CD的臨界值：如圖所示，延長(zhǎng)AB交直角走廊于A₁、B₁，設(shè)∠CDO=θ，則∠B₁A₁O=θ.其中MN=MP=，為走廊寬度.?

       ∵CD=AB=A₁B₁-AA₁-BB₁,?

       而A₁B₁=A₁M+B₁M=,AA₁=cotθ,BB₁=tanθ,?

       ∴CD=-cotθ-tanθ

       =.?

       令sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ=.?

       從而CD=.?

       又t=sinθ+cosθ=sin(θ+),且θ∈(0,), <θ+<,?

       此時(shí)，由正弦函數(shù)的圖象可知)≤1,即t∈(1, ).?

       當(dāng)且僅當(dāng)θ=時(shí)，t取得最大值.?

       令f(t)=,對(duì)其求導(dǎo)數(shù)，有?

       f′(t)=?

       =<0.?

       由此可知f(t)= 在其定義域(1, ］上單調(diào)遞減，?

       ∴f(t)>f()=3-2.?

       當(dāng)且僅當(dāng)θ=時(shí)成立，因此要想順利通過(guò)走廊，平板車的長(zhǎng)度不能超過(guò)(3-2)米.