如圖所示，PA為圓的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過點(diǎn)O的割線，PA=10，PB=5，的平分線與BC和圓分別交于點(diǎn)D和E。

（1）求證：；
（2）求AD·AE的值。

（ 1）直接根據(jù)∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進(jìn)而求出結(jié)論；
（2）90

解析試題分析：（ I）直接根據(jù)∠PAB=∠ACP以及∠P公用，得到△PAB∽△PCA，進(jìn)而求出結(jié)論；

（ II）先根據(jù)切割線定理得到PA2=PB•PC；結(jié)合第一問的結(jié)論以及勾股定理求出；再結(jié)合條件得到△ACE∽△ADB，進(jìn)而求出結(jié)果．
解：（ I）∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，…（1分）
又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）
∴．…（3分）
（ II）∵PA為⊙O的切線，PBC是過點(diǎn)O的割線，
∴PA2=PB•PC．…（5分）
又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）
由（ I）知，，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠CAB=90°．
∴AC2+AB2=BC2=225，
∴ …（7分）
連接CE，則∠ABC=∠E，…（8分）
又∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，
∴ …（9分）
∴．…（10分）

 
考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、相似三角形的判定及切線性質(zhì)的應(yīng)用．解決本題第一問的關(guān)鍵在于先由切線PA得到∠PAB=∠ACP．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，自⊙外一點(diǎn)引切線與⊙切于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過引割線交⊙于兩點(diǎn). 求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，是的切線，過圓心， 為的直徑，與相交于、兩點(diǎn)，連結(jié)、. (1) 求證：；
(2) 求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E， 點(diǎn)D在AB上，．

(Ⅰ)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
(Ⅱ)若，求EC的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知C點(diǎn)在⊙O直徑BE的延長線上，CA切⊙O于A 點(diǎn)，CD是∠ACB的平分線且交AE于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)D

（1）求∠ADF的度數(shù)； （2）若AB＝AC，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，直線過圓心，交⊙于，直線交⊙于(不與重合)，直線與⊙相切于,交于,且與垂直，垂足為,連結(jié).

求證：(1);      
(2).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，延長DA到點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使得AE＝CF，連接EF，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，連接DM，BN.

（1）求證：△AEM ≌△CFN；
（2）求證：四邊形BMDN是平行四邊形.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知：如圖,為的外接圓，直線為的切線，切點(diǎn)為，直線∥，交于、交于，為上一點(diǎn)，且.

求證：（Ⅰ）；
（Ⅱ）點(diǎn)、、、共圓.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知是⊙的直徑，直線與⊙相切于點(diǎn)，平分.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，求的長.

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