已知橢圓C1，拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩點，將其坐標記錄于下表中：
x 3 -2 4
2
y -2
3
 0 -4
2
2
（Ⅰ）求C1、C2的標準方程；
（Ⅱ）若過曲線C1的右焦點F2的任意一條直線與曲線C1相交于A、B兩點，試證明在x軸上存在一定點P，使得
PA
•
PB
的值是常數(shù)．
分析：（Ⅰ）驗證4個點知（3，-2
3
），（4，-4）在拋物線上，（-2，0），（
2
，
2
2
）在橢圓上，由此可求C1、C2的標準方程；
（Ⅱ）分類討論，利用
PA
•
PB
=（xA-t）（xB-t）+yAyB，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設拋物線C2：y2=2px（p≠0），則有
y2
x
=2p(x≠0)，
據(jù)此驗證4個點知（3，-2
3
），（4，-4）在拋物線上，∴C2的標準方程為y2=4x．…（2分）
設C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，把點（-2，0），（
2
，
2
2
）代入得：
4
a2
=1
2
a2
+
1
2b2
=1
，解得
a2=4
b2=1
．
∴C1的標準方程為
x2
4
+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）①當直線AB不與x軸垂直時，設其方程為y=k（x-
3
），代入橢圓方程，消去y可得（1+4k2）x2-8
3
k2x+12k2-4=0，則
xA+xB=
8
3
k2
1+4k2
，xAxB=
12k2-4
1+4k2
．…（8分）
設點P（t，0），則
PA
•
PB
=（xA-t）（xB-t）+yAyB=
t2-4+(11-8
3
t+4t2)k2
1+4k2
．…（10分）
當
t2-4
1
=
11-8
3
t+4t2
4
，即t=
9
3
8
時，對任意k∈R，
PA
•
PB
=-
13
64
．…（12分）
②當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=
3
，xA=xB=
3
，yAyB=-
1
4
．
若t=
9
3
8
，則
PA
•
PB
=（xA-t）（xB-t）+yAyB=-
13
64

故存在x軸上的點P（
9
3
8
，0），使得
PA
•
PB
的值是常數(shù)-
13
64
．…（13分）
點評：本題主要考查拋物線、橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F（1，0），C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C2分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C2的標準方程；
（Ⅱ）若
AM
=
1
2
MB
，求直線l的方程；
（Ⅲ）若坐標原點O關(guān)于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1的長軸長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
   C1  C2
 x  2  
2
  4  3
 y  0  
2
2
  4 -2
3
則C1、C2的標準方程分別為
 
、
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•江門二模）已知橢圓C1和拋物線C2有公共焦點F（1，0），C1的中心和C2的頂點都在坐標原點，直線l過點M（4，0）．
（1）寫出拋物線C2的標準方程；
（2）若坐標原點O關(guān)于直線l的對稱點P在拋物線C2上，直線l與橢圓C1有公共點，求橢圓C1C的長軸長的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•中山市三模）已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
x 1 -
5
 2
2
y -2
2
 0 -4
15
5
（Ⅰ）求C1、C2的標準方程；
（Ⅱ）過點曲線的C2的焦點B的直線l與曲線C1交于M、N兩點，與y軸交于E點，若
EM
=λ1
MB
，
EN
=λ2
NB
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1，拋物線C2的焦點均在y軸上，C1的中心和C2 的頂點均為坐標原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
x 0 -1
2
 4
y -2
2
1
16
 -2 1
（Ⅰ）求分別適合C1，C2的方程的點的坐標；
（Ⅱ）求C1，C2的標準方程．

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