Question

已知函數f（x）=2sin（

π

4

+x）cos（

π

4

-x）-1
（1）求函數f（x）的周期；
（2）若函數g（x）=f（x）-2

3

cos²x，試求函數g（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若f²（x）-cos2x≥m²-m-7恒成立，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）將函數f（x）進行化簡，利用三角函數的周期公式即可求函數f（x）的周期；
（2）求出函數g（x）=f（x）-2

3

cos²x的表達式，即可求出函數g（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）求出f²（x）-cos2x的最小值，利用參數分離法，求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）因為f(x)=2sin(

π

4

+x)sin(

π

4

+x)-1
=2sin2(

π

4

+x)-1=-cos(

π

2

+2x)=sin2x
所以f（x）的周期T=

2π

2

=π．…（2分）
（2）由（1），知g(x)=f(x)-2

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x-

3

=2sin(2x-

π

3

)-

3

…（2分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

6

≤2x≤2kπ+

5π

6

，
從而kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
所以函數g（x）的單調遞增區(qū)間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．…（2分）
（3）因為f²（x）-cos2x=sin²2x-cos2x=-cos²2x-cos2x+1
=-(cos2x+

1

2

)2+

5

4

…（1分）
所以，當cos2x=1時，（f²（x）-cos2x）_min=-1．…（1分）
f²（x）-cos2x≥m²-m-7恒成立，
等價于m²-m-7≤（f²（x）-cos2x）_min
所以，m²-m-7≤-1，即m²-m-6≤0，解得-2≤m≤3．
所以，實數m的取值范圍為[-2，3]．…（2分）

點評：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數的關系式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大．