Question

如圖所示，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍且經(jīng)過點(diǎn)M（3，1）平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），且交橢圓于A，B兩不同點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（ I）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題可得

a=3b 9 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出橢圓的方程．
（ II）直線l方程為：y=

1

3

x+m．聯(lián)立

x2 18 + y2 2 =1 y= 1 3 x+m

，得2x²+6mx+9m²-18=0，由此能求出m的取值范圍．
（ III）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0，就能得到直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．

解答： （ I）解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
由題可得

a=3b 9 a2 + 1 b2 =1

，解得a²=18，b²=2．
所求橢圓的方程為

x2

18

+

y2

2

=1．…（4分）
（ II）解：∵直線l∥OM且在y軸上的截距為m，
∴直線l方程為：y=

1

3

x+m．
聯(lián)立

x2 18 + y2 2 =1 y= 1 3 x+m

消y化簡(jiǎn)得2x²+6mx+9m²-18=0
∵直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，
∴△=（6m）²-4×2×（9m²-18）＞0
解得-2＜m＜2又因?yàn)閙≠0．
∴m的取值范圍為-2＜m＜2且m≠0．…（8分）
（ III）證明：設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，
則問題只需證明k₁+k₂=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則k1=

y1-1

x1-3

，k2=

y2-1

x2-3

．
由（2）x1+x2=-3m，x1•x2=

9m2-18

2

又y1=

1

3

x1+m，y2=

1

3

x2+m，
代入k1+k2=

(y1-1)(x2-3)+(y2-1)(x1-3)

(x1-3)(x2-3)

，整理得：

k1+k2= y1x2+x1y2-(x1+x2)-3(y1+y2)+6 (x1-3)(x2-3)  = 2 3 x1x2+(m-2)(x1+x2)-6m+6 (x1-3)(x2-3)   = 2 3 × 9m2-18 2 +(m-1)(-3m)-3m+6 (x1-3)(x2-3)   = 3m2-6-3m2+3m-3m+6 (x1-3)(x2-3)   =0

∴k₁+k₂=0．從而直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查等腰三角形的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．