Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0＜a＜）
（1）求MN的長；
（2）a為何值時(shí)，MN的長最��；
（3）當(dāng)MN的長最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成二面角α的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，易證MNQP是平行四邊形，根據(jù)即可求出MN的長；
（2）根據(jù)（1）將MN 關(guān)于a的函數(shù)進(jìn)行配方即可求出MN的最小值，注意取最小值時(shí)a的取值；
（3）取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠AGB即為二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值，結(jié)合圖形可二面角與之互補(bǔ)．
解答：解（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形．
∴MN=PQ
由已知CM=BN=a，CB=AB=BE=1
∴，
=
=
=
（2）由（1）
=
=
=
所以，當(dāng)時(shí)，
即當(dāng)M、N分別為AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長最小，最小值為
（3）取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G為的中點(diǎn)
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即為二面角的平面角α
又，所以，由余弦定理有
故所求二面角為：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)性技巧性都很強(qiáng)．