Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCＤ中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大��；

(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a， 　　在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2　知PA⊥AB．同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD． 　　(Ⅱ)解　作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．知EG⊥平面ABCD． 　　作GH⊥AC于H，連結(jié)EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角的平面角． 　　又PE∶ED＝2∶1，所以 　　從而 　　(Ⅲ)解法一　以A為坐標(biāo)原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為 　　 　　 　　所以 　　 　　設(shè)點F是棱PC上的點，則 　　 　　令 　　得 　　解得　即時， 　　亦即，F(xiàn)是PC的中點時，、、共面． 　　又BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC． 　　解法二：當(dāng)F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC，證明如下， 　　證法一：取PE的中點M，連結(jié)FM，則FM∥CE．① 　　由知E是MD的中點． 　　連結(jié)BM、BD，設(shè)BDAC＝O，則O為BD的中點．所以BM∥OE．② 　　由①、②知，平面BFM∥平面AEC．又BF平面BFM，所以BF∥平面AEC． 　　證法二：因為 　　 　　所以、、共面．又BF平面ABC，從而BF∥平面AEC．