Question

已知三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為2，在底面ABC內(nèi)的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：

（1）聯(lián)結(jié)，求異面直線與所成角的大小；
（2）聯(lián)結(jié)、，求三棱錐C₁－BCA₁的體積．

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：（1）要求異面直線所成的角，必須按照定義作出這個角，即把異面直線平移為相交直線，求相交直線所夾的銳角或直角，當(dāng)然我們一般是過異面直線中的某一條上一點作另一條直線的平行線，同時要借助已知圖形中的平行關(guān)系尋找平行線，以方便解題．本題是三棱柱，顯然有∥，因此只要在中求即可；（2）求三棱錐的體積，一般用公式，即底面面積乘以高再除以3，但本題中由于三棱錐的高不容易找，而這個三棱錐在三棱柱中，因此我們可借助三棱柱來求棱錐的體積，利用棱錐體積的公式，可知這個三棱柱被分成三個體積相等的三棱錐，，，因此我們只要求三棱柱的體積即可．
試題解析：(1) 聯(lián)結(jié)，并延長與交于點，則是邊上的中線．
點是正的中心，且平面，
∴且．∴．
∴．
又，
∴異面直線與所成的角為．
∴即四邊形為正方形．
∴異面直線與所成角的大小為．
(2)∵三棱柱的所有棱長都為２，
　∴可求算得．
∴，．
∴．