Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，且f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x），…（n∈N^*，n≥2），則=    ．

Answer 1

【答案】分析：利用三角函數(shù)求導(dǎo)法則求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀察所求的結(jié)果，歸納其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)標(biāo)號(hào)的周期性為
4，再將代入，每四項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，即可求得正確答案．
解答：解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（ ）+f₂（ ）+…+f₂₀₁₁（ ）=-f₂₀₁₂（ ）=-f₄（ ）=cos-sin=0．
故答案為：0
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵．