Question

設(shè)命題p：|4x-3|≤1，命題q：x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若“￢p⇒￢q”為假命題，“￢q⇒￢p”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：通過(guò)求解絕對(duì)值的不等式得到滿足命題￢p的x的取值集合，求解一元二次不等式得到滿足命題￢q的x的取值集合，然后根據(jù)“￢p⇒￢q”為假命題，“￢q⇒￢p”為真命題得到兩個(gè)集合之間的關(guān)系，最后運(yùn)用兩個(gè)集合的端點(diǎn)值之間的大小列不等式進(jìn)行求解．

解答：解：由|4x-3|≤1，得：-1≤4x-3≤1，解得：

1

2

≤x≤1，
因此，滿足命題p的x的取值集合為{x|

1

2

≤x≤1}，則滿足命題￢p的x的取值集合為{x|x＜

1

2

，或x＞1}；
由x²-（2a+1）x+a（a+1）≤0，得：（x-a）[x-（a+1）]≤0，解得：a≤x≤a+1．
因此，滿足命題q的x的取值集合為{x|a≤x≤a+1}，則滿足命題￢q的x的取值集合為{x|x＜a，或x＞a+1}；
由“￢p⇒￢q”為假命題，“￢q⇒￢p”為真命題，
得，{x|x＜a，或x＞a+1}⊆{x|x＜

1

2

，或x＞1}．
因此

a≤ 1 2 a+1≥1

，解得a∈[0，

1

2

]．
所以，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了絕對(duì)值不等式及一元二次不等式的解法，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)命題的真假得到兩個(gè)集合之間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，另外，由集合間的關(guān)系比較端點(diǎn)值大小時(shí)易出錯(cuò)，此題是中檔題．