點(diǎn)M(m,4)m>0為拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)上一點(diǎn),F(xiàn)為其焦點(diǎn),已知|FM|=5,
(1)求m與p的值;
(2)以M點(diǎn)為切點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn),交y軸與點(diǎn)N,求△FMN的面積.
(1)∵點(diǎn)M(m,4)m>0為拋物線(xiàn)x2=2py(p>0)上一點(diǎn),F(xiàn)為其焦點(diǎn),已知|FM|=5,
∴拋物線(xiàn)定義可知,|FM|=
p
2
+4=5
,
∴p=2,
∴拋物線(xiàn)的方程為x2=4y,
又∵M(jìn)(m,4)在拋物線(xiàn)上,
∴m2=4×4,
∴m=4,
故p=2,m=4;
(2)由(1)可知,M(4,4),
由題意可知,切線(xiàn)的斜率k必定存在,
∴設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線(xiàn)方程為,y-4=k(x-4),
聯(lián)立方程組可得,
x2=4y
y-4=k(x-4)
,
消去y可得,x2-4kx+16k-16=0,
∵直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的切線(xiàn),則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn),
∴x2-4kx+16k-16=0只有一個(gè)根,
∴△=16k2-64(k-1)=0,
∴k=2,
∴切線(xiàn)方程為y=2x-4,
∴切線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為N(0,-4),且拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(0,1),
S△FMN=
1
2
|FN|•m=
1
2
×5×4=10

故△FMN的面積為10.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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1
3
x3-
3
2
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