Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AB⊥PD；
（Ⅱ）若∠BPC=90°，PB=PC=2，問AB為何值時，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時直線PB與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AB⊥平面PAD，由此能證明AB⊥PD．
（Ⅱ）取線段AD的中點O，連結PO，則PO⊥平面ABCD，取BC中點M，連結OM，則OM⊥AD，設AB=x，則V_P-ABCD=

1

3

×OP×SABCD=

1

3

2-x2

•x•2

2

=

2 2

3

-(x2-1)2+1

，當且僅當x²=1，即x=1時，四棱錐P-ABCD的體積最大，此時以O為原點，OA為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線PB與平面PDC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
∴AB⊥PD．
（Ⅱ）解：由題意得AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
∴在Rt△PAB與Rt△PDC中，PB=PC=2，
AB=DC，∴PA=PD，∴△PAD為等腰三角形，
取線段AD的中點O，連結PO，則PO⊥平面ABCD，
取BC中點M，連結OM，則OM⊥AD，
設AB=x，則OM=AB=x，
在△BPC中，∠BPC=90°，PB=PC=2，∴BC=2

2

，
PM=

1

2

BC=

2

，
∴在Rt△POM中，PO=

2-x2

，
∴V_P-ABCD=

1

3

×OP×SABCD=

1

3

2-x2

•x•2

2

=

2 2

3

2x2-x4

=

2 2

3

-(x2-1)2+1

，
當且僅當x²=1，即x=1時，四棱錐P-ABCD的體積最大，
此時以O為原點，OA為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），B（

2

，1，0），C（-

2

，1，0），
D（-

2

，0，0），P（0，0，1），
∴

PC

=(-

2

，1，-1)，

CD

=（0，-1，0），
設平面PDC的一個法向量

n

=（x，y，z），
由

n • PC =- 2 x+y-z=0 n • CD =-y=0

，
令x=1，解得

n

=（1，0，-

2

），
又

PB

=（

2

，1，-1），
設直線PB與平面PDC所成角為θ，
sinθ=|cos＜

PB

，

n

＞|=|

2 + 2

3 × 4

|=

6

3

．
∴直線PB與平面PDC所成角的正弦值為

6

3

．

點評：本題考查異面向量垂直的證明，考查四面體體積最大時線段長的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．