Question

若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球表面積之比為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，當(dāng)球外切于正三棱柱時(shí)，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距，求出正三棱柱的高為，當(dāng)正三棱柱外接球時(shí)，球的球心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的圓心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，求出外接球的半徑，即可求出內(nèi)切球與外接球表面積之比．

解答：解：設(shè)正三棱柱底面正三角形的邊長為a，
當(dāng)球外切于正三棱柱時(shí)，球的半徑R₁等于正三棱柱的底面正三角形的邊心距

3

6

a，R₁²=

1

12

a2，
故正三棱柱的高為

2 3

3

a，
當(dāng)正三棱柱外接球時(shí)，球的圓心是正三棱柱高的中點(diǎn)，且球的球心與正三棱柱兩個(gè)底面正三角形構(gòu)成兩個(gè)正三棱錐，R22=(

3

3

a)2+(

3

3

a)2=

2

3

a2，
∴內(nèi)切球與外接球表面積之比為

1

12

a2：

2

3

a2=1：8．
故答案為：8：1

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，是常考題型，求內(nèi)切球與外接球的半徑是本題的關(guān)鍵．