如圖,在側棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中點,F是平面B1C1E與直線AA1的交點.

(1)證明:①EF∥A1D1;②BA1⊥平面B1C1EF.
(2)求BC1與平面B1C1EF所成的角的正弦值.

（1）見解析  （2）

解析(1)證明:①因為C1B1∥A1D1,C1B1?平面ADD1A1,
所以C1B1∥平面A1D1DA.
又因為平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,
所以C1B1∥EF,所以A1D1∥EF.
②因為BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.
又因為B1C1⊥B1A1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,
所以B1C1⊥BA1.
在矩形ABB1A1中,F是AA1的中點,
tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,
即∠A1B1F=∠AA1B,
故BA1⊥B1F.
所以BA1⊥平面B1C1EF.
(2)解:設BA1與B1F交點為H,連接C1H.
由(1)知BA1⊥平面B1C1EF,
所以∠BC1H是BC1與平面B1C1EF所成的角.
在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,得BH=.
在Rt△BHC1中,BC1=2,BH=,得
sin∠BC1H==.
所以BC1與平面B1C1EF所成角的正弦值是.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，直三棱柱中， ，，是的中點，△是等腰三角形，為的中點，為上一點．

（1）若∥平面，求；
（2）求直線和平面所成角的余弦值．

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如圖，已知四棱錐中，平面，底面是直角梯形，
且.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）若是的中點，求三棱錐的體積.

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如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，，是棱的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在棱上是否存在一點，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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如圖所示，在三棱柱中，，，點分別是的中點．
 
(1)求證：平面∥平面；
(2)求證：平面⊥平面；
（3）若，，求異面直線所成的角。

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如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分別在線段上，B1E=3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.

（1）求證：BC⊥AC1；
（2）試探究：在AC上是否存在點F，滿足EF／／平面A1ABB1，若存在，請指出點F的位置，并給出證明；若不存在，說明理由．

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如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°,E為線段AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F為線段A′C的中點.

(1)求證:BF∥平面A′DE;
(2)設M為線段DE的中點,求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知四棱錐的底面是平行四邊形，,，面，且.若為中點，為線段上的點，且.

（1）求證：平面；
（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=a,BC=a，以對角線AC為折線將直角三角形ABC向上翻折到三角形APC的位置（B點與P點重合），P點在平面ACD上的射影恰好落在邊AD上的H處．

（1）求證：PA⊥CD；
（2）求直線PC與平面ACD所成角的正切值．

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