Question

從社會效益和經濟效益出發(fā),某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設,同時發(fā)展旅游產業(yè).根據規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少.本年底當地旅游業(yè)收入估計為400萬元.由于該項建設對旅游業(yè)的促進作用,預計今后的旅游業(yè)收入每年會比上年增加.

(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為a_n萬元,旅游業(yè)總收入為b_n萬元.寫出a_n、b_n;

(2)至少經過幾年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入?

Answer 1

解：(1)第1年投入為800萬元,

    第2年投入為800×(1-)萬元,…,

    第n年投入為800×(1-)^n-1萬元.

    所以,n年內的總投入為a_n=800+800×(1-)+…+800×(1-)^n-1

    =4 000×［1-()ⁿ］.

    第1年旅游業(yè)收入為400萬元,第2年旅游業(yè)收入為400×(1+)萬元,…,第n年旅游業(yè)收入為400×(1+)^n-1萬元.

    所以n年內的旅游業(yè)總收入為b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^n-1

    =1 600×［()ⁿ-1］.

    (2)設至少經過n年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入,由此b_n-a_n＞0,

    即1 600×［()ⁿ-1］-4 000×［1-()ⁿ］＞0.

    化簡得5×()ⁿ+2×()ⁿ-7＞0,

    設x=()ⁿ,代入上式得5x²-7x+2＞0.

    解此不等式,得x＜,x＞1(舍去).

    即()ⁿ＜,解得n≥5.

    故經過5年旅游業(yè)的總收入超過總投入.