已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3,若用函數(shù)g(t)替代x,則得到函數(shù)f[g(t)],則下列關(guān)于g(t)的表達(dá)式,會(huì)使f[g(t)]的值域不同于f(x)的值域的是( )
A.g(t)=2t
B.g(t)=log2t
C.g(t)=g2-2t+3
D.g(t)=2t-3
【答案】分析:由題意,本題要比較前后兩個(gè)函數(shù)值域是否相同,故先解出f(x)=x2-2x+3值域,再研究四個(gè)選項(xiàng)中g(shù)(t)的表達(dá)式,求出f[g(t)]的值域與數(shù)f(x)值域相比較即可得到正確選項(xiàng).
解答:解:由題意,先研究函數(shù)f(x)=x2-2x+3,此二次函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱,其函數(shù)值滿足f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,即函數(shù)值域是[2,+∞).
對(duì)于A選項(xiàng),g(t)=2t∈(0,+∞),可保證新函數(shù)f[g(t)]的值域是[2,+∞).
對(duì)于B選項(xiàng),g(t)=log2t的值域是R,可保證新函數(shù)f[g(t)]的值域是[2,+∞).
對(duì)于C選項(xiàng),g(t)=t2-2t+3=(t-1)2+2≥2,此時(shí),g(t)=1不成立,此時(shí)新函數(shù)f[g(t)]的值域不是[2,+∞).
對(duì)于D選項(xiàng),g(t)=2t-3值域是R,可保證新函數(shù)f[g(t)]的值域是[2,+∞).
綜上知,C選項(xiàng)中g(shù)(t)的表達(dá)式,會(huì)使f[g(t)]的值域不同于f(x)的值域.
故選C
點(diǎn)評(píng):本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值,考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法,正確解答本題,關(guān)鍵是理解題意,確定解題的方法是比較兩個(gè)函數(shù)值域是否相同,本題的重點(diǎn)是求函數(shù)的值域,復(fù)合函數(shù)值域的求法是本題的難點(diǎn),其求法步驟一般是先求內(nèi)層函數(shù)值域,再求復(fù)合函數(shù)的值域.本題考查了判斷推理的能力及計(jì)算能力.